Факультет вычислительной математики и кибернетики

Доктора и кандидаты наук 2002 г.

Сотрудники факультета защитили 2 докторские диссертации: доц. кафедры ОМ Ломов Игорь Сергеевич и ст.н.с. кафедры ММП Шурыгин Александр Михайлович .

Аннотация диссертации И.С.Ломова на соискание ученой степени доктора физико-математических наук на тему «Равномерная сходимость и сходимость в Lp на замкнутом интервале спектральных разложений неклассических обыкновенных дифференциальных операторов» (специальность 01.01.02 – дифференциальные уравнения, работа выполнена на кафедре общей математики факультета ВМиК МГУ).

Многие проблемы математической физики приводят к задаче определения собственных значений и собственных функций операторов и разложения произвольной функции в ряд по собственным функциям. Такого рода вопросы возникают при использовании метода Фурье для нахождения решения смешанной задачи для дифференциального уравнения в частных производных; в задачах управления некоторые критерии управляемости объектами связаны с базисностью корневых функций дифференциальных операторов; при асимптотическом интегрировании сингулярно возмущенных задач для точного описания особенностей решения используется спектр предельного оператора, а правые части уравнений разлагаются в ряды по системам корневых функций этого предельного оператора и др.

Работа посвящена изучению свойств систем собственных и присоединенных функций линейных обыкновенных дифференциальных операторов, заданных на конечном отрезке числовой прямой. Операторы могут быть как самосопряженными, так и несамосопряженными, причем особое внимание уделено случаю существенно несамосопряженных операторов, системы корневых функций которых содержат бесконечное число присоединенных функций. Развивается спектральный метод В.А. Ильина изучения дифференциальных операторов безотносительно к конкретному виду краевых условий. Это допускает единообразное рассмотрение самых разных прикладных задач – с краевыми формами двухточечными, многоточечными, содержащими интегралы Стилтьеса, содержащими спектральный параметр, а также классические и неклассические системы экспонент.

Решены следующие основные задачи: создан математический аппарат исследования спектральных свойств неклассических «разрывных» обыкновенных дифференциальных операторов L с областью определения, состоящей из функций, множество разрывов которых может составлять всюду плотное множество на отрезке G = [0,1]; получены конструктивные условия безусловной базисности в L2(G) нерегулярных корневых функций дифференциальных операторов произвольного порядка; предложен метод, позволяющий устанавливать равносходимость вплоть до границы отрезка биортогональных разложений с тригонометрическим рядом Фурье, не использующий свойств сопряженного оператора; установлена точная оценка скорости сходимости биортогональных разложений функций на всем отрезке как для дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами, так и для систем экспонент.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях по спектральной теории несамосопряженных дифференциальных операторов, при обосновании метода Фурье решения задач математической физики, в теории аппроксимации функций, при исследовании задач теории упругости, квантовой механики, геофизики, радиоэлектроники, приводящих к изучению несамосопряженных операторов.

Аннотация диссертации А.М.Шурыгина на соискание ученой степени доктора технических наук на тему «Асимптотическая теория устойчивого оценивания» (специальность 05.13.17 – теоретические основы информатики, работа выполнена на кафедре математических методов прогнозирования факультета ВМиК МГУ).

В приложениях никогда нельзя быть уверенным в законе распределения наблюдаемых величин, по которым исследователь пытается судить о тех или иных характеристиках изучаемого объекта. Поэтому всегда существует различие между реальным распределением и используемой моделью. Чуть меньше полувека назад было подмечено, что это различие катастрофически уменьшает устойчивость популярных оценок максимума правдоподобия. С тех пор было предложено много устойчивых оценок центра нормального распределения, полученных эмпирически при моделировании распределений с точечным загрязнением. Эти оценки получили название робастных и включаются в современные пакеты программ для обработки данных.

В диссертации предлагаются математические модели и методы, дающие возможность найти устойчивые оценки произвольных параметров распределения как решения математических экстремальных задач. Известное в математической статистике понятие эффективности оценки дополняется второй ее характеристикой – устойчивостью. Синтетический показатель, названный радикальностью, является мерой прикладной пригодности оценки, и оценки, максимизирующие этот показатель, названные радикальными, сочетают высокую эффективность с хорошей устойчивостью. Их полезность демонстрируется на примерах.

Перенесение этой технологии на случай многомерного нормального распределения показывает резкое уменьшение эффективности и устойчивости радикальных оценок при увеличении количества зависимых признаков, так что существенно многомерное нормальное распределение как модель реального распределения оказывается непознаваемым. Этот факт объясняет тенденцию опытных статистиков уменьшать размерность решаемых задач.

Выписаны устойчивые решения для задачи регрессии и линейной дискриминации. Как способ спасения от ухудшения качества оценок с увеличением размерности предложена редукция многомерной задачи к последовательности двумерных задач.

В 2002 г. сотрудники факультета защитили 7 кандидатских диссертаций: ассистент кафедры математической физики Березин Сергей Борисович («Графический подход к исследованию и решению задач динамического поиска»); инженер Зеркаль Светлана Владимировна («Математическое моделирование движения оползней-потоков методом частиц»); ассистент кафедры общей математики Садовничая Инна Викторовна («Спектральные асимптотики и регуляризованные ряды некоторых дифференциальных операторов»); ассистент кафедры алгоритмических языков Столяров Андрей Викторович («Интеграция разнородных языковых механизмов в рамках одного языка программирования»); инженер-программист лаборатории вычислительных комплексов Трекин Антон Геннадиевич («Структурный синтез вычислительной системы с помощью генетических алгоритмов синхронизации»); ассистент кафедры вычислительных методов Хруленко Александр Борисович («Математическое моделирование движения жидкости по системе эластичных сосудов»); ассистент кафедры математической статистики Шестаков Олег Владимирович («Томографические методы анализа стохастических полей»).